Bản chất của toán học và những điểm mạnh của toán học ứng dụng trong thực tế

Nhiều học viên của trung tâm gia sư toán Hà Nội băn khoăn học toán để làm gì? Ứng dụng của toán học trong thực tế là gì? Điểm mạnh của toán học thế nào và tại sao chúng ta lại học toán học.

Để giải đáp được phần nào thắc mắc của các bạn học viên gia sư toán Hà Nội xin chia sẻ bài viết được chúng tôi sưu tầm và biên soạn nhằm giúp các bạn học viên của gia sư toán HN có cái nhìn tương đối về các vấn đề trên.

I. Toán học nghiên cứu gì ?

Toán học được quan niệm là ngành khoa học nghiên cứu về các hình thức không gian và những quan hệ định lượng của thế giới thực.

Những khái niệm liên quan:

a. Ngành khoa học:

• Trong thế giới thực có các sự vật, hiện tượng khác nhau. Khoa học là xây dựng hiểu biết về bản chất và quy luật vận động của tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó tìm kiếm quy luật vận động chi phối các hiện tượng tự nhiên, xã hội, tư duy. Để sản xuất ra tri thức là hiểu biết có hệ thống đó cần có hoạt động gọi là Nghiên cứu khoa học.

• Mỗi ngành khoa học sẽ coi đối tượng nghiên cứu của mình là một phần nào đó của sự vật, hiện tượng. Có ngành khoa học thì đối tượng là tư nhiên, cái thì đối tượng là xã hội, cái thì là con người…

b. Toán học chỉ nghiên cứu hai mặt sau của sự vật, hiện tượng thực tế:
• những quan hệ định lượng giữa sự vật hiện tượng này với sự vật, hiện tượng khác
• khám phá bản chất của các hình thức không gian của sự vật, hiện tượng

c. Có nghĩa là đối tượng nghiên cứu lại không là trọn vẹn , đầy đủ về bất cứ 1 loại hiện tượng, sự vật cụ thể nào (như ở các khoa học khác), mà chỉ nghiên cứu phần “những quan hệ định lượng” và “mặt hình thức không gian” của “mọi hiện tượng, sự vật”.

d. Tuy thế, nó lại có vai trò then chốt, quan trọng tạo cơ sở công cụ cho các ngành khoa họckhác xây dựng nên tri thức ngành mình. Toán học đóng vai trò là phương pháp luận khoa học, chung cho mọi ngành khoa học mà nghiên cứu những đối tượng, hiện tượng khác nhau của thực tiễn.

• Toán học ngày một hình thành nên những khái niệm, quy luật mới phản ánh sâu sắc hơn bản chất quan hệ số lượng và cấu trúc của hiện thực. Vì thế toán học ngày càng phục vụ hiệu quả hơn trong hoạt động thực tiễn.

- Trong thực nghiệm toán học: đo đạc và tính toán chính xác hơn trong mọi ngành khoa học.

- Trong sản xuất: ngày càng hoàn thiện tính toán, tự động hoá và giảm đi 1 phần lao động trí óc con người nhờ máy tính tự động.

2. Nhà Toán học đưa ra quy luật của mình bằng cách nào?

• Để hình thành nên các khái niệm, phạm trù, lý thuyết chuyên biệt (tức là các tri thức cụ thể về một lĩnh vực hiện thực nào đó) các ngành khoa học đều thực hiện các thao tác phổ biến như: tách bỏ, cắt xén, cô lập hoá…. hiện thực sống động, tức là chỉ tập trung vào các mối liên hệ và quan hệ chủ yếu mà mỗi ngành khoa học quan tâm.

• Toán học không ngoại lệ. Như vậy là bên trong toán học quá trình phản ánh quy luật và quan hệ số lượng và cấu trúc của hiện thực thông qua trừu tượng hoá ngày càng thay đổi về chất gần với chân lý hơn.

• Phương pháp đưa ra quy luật của Toán học như sau:

A. Toán học khi tách bỏ mọi nội dung, chất liệu cụ thể của sự vật, quá trình chỉ giữ lại các quan hệ số lượng và hình dạng không quan dưới dạng tổng quát.

Ví dụ, khái niệm con số và hình dạng. Cuối thế kỷ 19, toán học tách bỏ cả đặc điểm số và hình của đối tượng, nghiên cứu chỉ trên các phần tử (đối tượng) có bản chất tuỳ ý, miễn sao thoả mãn 1 số quan hệ nhất định. Nó đi sâu vào bản chất và khái quát hoá hơn là quan hệ số lượng và không gian hiện thực.

Trong khi đó thì các khoa học khác khi trừu tượng hoá vẫn thường giữ lại ở một mức độ nhất định chất liệu, nội dung cụ thể của sự vật, hiện tượng. Cũng vì thế mà các khái niệm toán học có độ tự do và phổ biến hơn không phụ thuộc vào đặc điểm đối tượng áp dụng. Cho nên các khái niệmtoán học có khả năng gợi mở, vượt trước hơn nhiều khoa học khác.

B. Toán học thực hiện sự trừu tượng liên tiếp từ những trừu tượng đã có trước, theo 2 cách đặc biệt sau đây:

- Cách 1: xây dựng trừu tượng mới từ trừu tượng cũ. Đặc trưng chủ yếu của cách làm này là xây dựng dần tính chất mới, khái quát hoá và bao hàm tính chất cũ.

Ví dụ, sự hình thành khái niệm số thực trải qua 5 bậc trừu tượng: số nguyên, phân số, số hữu tỷ, số vô tỷ.

- Cách 2: tổng hợp các trừu tượng đã có thành khái niệm trừu tượng hơn. Ưu điểm của cách này là tách bỏ tính chất riêng lẻ, không cơ bản của các khái niệm, lý thuyết khác nhau, vạch ra tính chất cơ bản, chung giữa chúng để hình thành các khái niệm thống nhất, phổ biến hơn. Quá trình này tạo ra cái cụ thể trong tư duy tức tri thức cụ thể về các quan hệ số lượng và không gian hiện thực.

Ví dụ, sự hình thành môn hình học giải tích được tổng hợp từ hai bộ môn riêng lẻ là hình học và đại số.

C. Toán học thực hiện trừu tượng hoá thông qua lý tưởng hoá.

Lý tưởng hoá là phép trừu tượng hoá đặc biệt, xây dựng đối tượng tưởng tượng chỉ gần giống với khách thể. Thậm chí, lý tưởng hoá còn cho phép chủ thể nhận thức gán cho đối tượng hay mô hình đang nghiên cứu những tính chất không có trong hiện thực.

Ví dụ khái niệm điểm, khái niệm số ảo…

Nó đem đến những ưu điểm sau:
- Đặc trưng định lượng của nó được xác định với độ chính xác cao nhất. Ví dụ điểm, đường thẳng…
- Tạo điều kiện trực tiếp để liên hệ, tác động qua lại giữa 2 tập hợp khác nhau bằng quan niệm ánh xạ. Ví dụ, tập số ánh xạ với tập điểm.
- Việc gán hay đưa thêm tính chất mới vào đối tượng hay mô hình đang nghiên cứu không phải thực hiện 1 cách tuỳ tiện. Nó dựa vào tính chất đã có, nguyên tắc tương ứng và lôgic (không làm nảy sinh mâu thuẫn ).

Quá trình trừu tượng hoá-lý tưởng hoá, độ tự do và việc gán tính chất mới vào đối tượng làm cho nó có thể thay thế, sửa đổi, đối sánh các tham số, các đặc điểm, tính chất với nhau nhằm mục đích khái quát để dịch chuyển tri thức từ lĩnh vực này sang lĩnh vực khác, tạo nên hiệu quả khoahọc cho toán học.

Trình độ cái trừu tượng, cái cụ thể, cái riêng (đại số, hình học), được nâng lên trình độ mới cao hơn về nội dung lẫn hình thức. Cái cụ thể ở bậc trừu tượng cao hơn là sự tổng hợp nhiều trừu tượng riêng lẻ ở bậc thấp hơn, là sự tái tạo cái cụ thể hiện thực trong tư duy, là sự thống nhất của cái đa dạng và phức tạp về các quan hệ số lượng và cấu trúc của thế giới hiện thực.

3. Toán học có đi xa rời thực tế không?

Từ xa xưa đã có nhiều quan điểm khác nhau như sau:

Quan điểm 1. Quan điểm coi những khái niệm, quy luật của toán học là những điều ghi chép, phản ánh thu được từ sự trừu tượng hoá những sự vật cụ thể và những tính chất của chúng. Đó chính là sản phẩm của sự sáng tạo của tư duy và những ký hiệu thuận tiện cho hoạt động nhận thức của con người.

Quan điểm 2. Quan điểm coi toán học mang bản chất riêng, độc lập với thế giới hiện thực.

Về tổng thể thì bất kỳ hệ thống điều khiển nào có cấp độ phản ánh thế giới theo cấp tiến hoá của hệ thống đó. Con người là hệ thống có cấp độ phản ánh thực tại cao nhất là tư duy. Sản phẩm và vật liệu để con người tư duy là khái niệm. Khái niệm có được thông qua nhiều loại thao tác tư duy khác nhau, đặc biệt là Khái quát hoá và Trừu tượng hoá. Để đảm bảo cho việc phản ánh thế giới thực khách quan nhất con người mới sinh ra hoạt động Khoa học của mình, đảm bảo hiểu đúng, sâu sắc mọi mặt của thế giới thực, kiến thức có kiểm chứng.

Khái niệm “phản ánh” giúp ta hiểu là có cầu nối từ ~ gì ta tư duy với thế giới thực. Rồi con người lại nghiên cứu về cách con người trừu tượng hoá thế giới nữa. Vậy là xuất hiện thêm 1 đối tượng nghiên cứu cũng “khách quan” cả thôi, nhưng không còn chỉ là “thế giới thực“ mà không có chúng ta nữa, mà chính xác là về thế giới trong hệ thống điều khiển của chúng ta (còn thế giới thực thì ở sau sự phản ánh đó như background). Tất nhiên, nghi ngờ rằng chúng ta chẳng bao giờ hiểu đúng thực tế “thế giới” khách quan luôn ám ảnh.

Nếu chúng ta có niềm tin vào khoa học thì chính Quan điểm số 1 là hợp lý và cũng lại là định hướng đúng đắn cho ngành Toán học.Điểm mạnh của toán học”?

Tuyên bố của NGD nói trên nghe như một bản sao chép + diễn giải tư tưởng của các lãnh tụ trường phái hình thức cách đây 100 năm.

Điển hình là tư tưởng của “ông thánh hình thức” David Hilbert:

“Bất kể lúc nào người ta cũng có thể nói về điểm, đường, mặt như là nói về cái bàn, cái ghế, và cốc bia”(1).

Hoặc tư tưởng của “kiện tướng logic” Bertrand Russell:

“Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng”(2).

Những phát ngôn nói trên đều ngụ ý rằng toán học “chân chính” không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học, mà chỉ quan tâm tới quan hệ logic giữa các đối tượng ấy – Chừng nào toán học còn bám vào ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học thì chừng ấy toán học còn kém và thậm chí chưa phải là toán học (!).

Thí dụ viết 2 USD + 3 USD = 5 USD là kém toán học (!), bởi vì toán học “chân chính” không quan tâm tới bản chất vật chất của các số 2, 3, 5.

Toán học “chân chính” chỉ quan tâm tới “ánh xạ”: 2 + 3 = 5

Kiểu toán học “xa rời thực tế” như thế thực ra chẳng có gì mới, bởi đó là “sáng tạo” của Gottlob Frege, vì Frege là người đầu tiên đưa ra định nghĩa “tinh khiết” của số:

“2 là tập hợp các cặp đôi, 3 là tập hợp các bộ ba, …”.

Có nghĩa là với Frege, 2 không “tầm thường” chỉ là “2 con gà, 2 con vịt” mà là một cái gì đó “cao siêu trừu tượng” hơn nhiều. Toán học “chân chính” không quan tâm tới “2 con gà, 2 con vịt” mà quan tâm tới số 2 “tinh khiết” và “xa rời thực tế”. Khi ấy, phép toán 2 + 3 = 5 cũng không phải là “phép thêm/bớt” như cách nghĩ “tầm thường” của nhân loại trong hàng ngàn năm trước, mà phải quan niệm đó là một “phép ánh xạ”, v.v. và v.v.

Tuy nhiên, nếu độc giả đã đọc bài “Lời sám hối của một nhà toán học hình thức” trên Khoa Học & Tổ Quốc tháng 03-2009 thì hẳn còn nhớ rằng vào lúc “vận đỏ”, Frege được ca tụng như “ngọn đèn pha của chủ nghĩa hình thức”, nhưng khi gặp “vận đen”, toàn bộ công trình số học hình thức của ông đã bị sụp đổ tan tành chính vì cái định nghĩa “tinh khiết” về số của ông!

Nhưng mặc dù số phận kết thúc bi thảm, Frege đã nêu một tấm gương sáng chói về đức tính trung thực và dũng cảm: Ông đã cất lời sám hối, phủ nhận toàn bộ tư tưởng hình thức mà ông đã dâng hiến cả cuộc đời, gián tiếp thừa nhận những định nghĩa số học “tinh khiết” và hình thức chẳng qua chỉ là một trò chơi hão huyền của mấy nhà toán học ngộ chữ!

Sáu năm sau khi Frege mất, Định Lý Bất Toàn của Godel cho thấy sự sám hối của Frege là hoàn toàn đúng, đồng thời chỉ ra rằng Chủ nghĩa hình thức chỉ là một giấc mơ hão huyền, không tưởng. Vậy mà 70 năm sau, NGD của chúng ta lại mơ cái giấc mơ hão huyền không tưởng đó: “Xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học”.

Chưa hết. NGD này giảng giải tường tận:

“Thầy giáo cho học sinh chỉ vào các tranh vẽ và nói: Đây là hai con vịt, đây là hai viên bi, đây là hai em bé … Thầy giáo còn có thể chỉ vào các đồ vật trong phòng để học sinh nói tiếp: Đây là hai viên phấn, kia là hai cánh cửa. Sau đó thầy cho học sinh biết rằng: Hai là con số hai, được viết là 2 … Cách dạy như trên là hoàn toàn đúng, mặc dầu học sinh học xong vẫn không trả lời được câu hỏi: Số 2 là gì?”.

Số 2 là cái gì mà “bí hiểm” đến như vậy?

Rõ ràng là NGD này muốn “gợi mở” cho chúng ta thấy ý nghĩa gì đó rất “thâm sâu” của số 2, bởi các em nhỏ dù đã biết đếm “2 con gà, 2 con vịt” nhưng cuối cùng vẫn chẳng hiểu số 2 là gì (!). Tôi e rằng nếu đem câu hỏi “Số 2 là gì?” mà hỏi khắp bàn dân thiên hạ, thì chắc chắn có tới 99,99% dân số sẽ trố mắt ngạc nhiên vì không hiểu tại sao họ được hỏi câu hỏi đó.

Rốt cuộc “Số 2 bí hiểm” này là cái gì vậy?

Phải chăng đó là số 2 của Frege? Hay số 2 nào khác còn “bí hiểm” hơn cả số 2 của Frege? Tôi không tin NGD của chúng ta có sáng tạo gì mới. Có lẽ ông cũng chỉ nhắc lại những tư tưởng đã quá cũ của các bậc tiền bối mà ông tôn thờ đấy thôi. Phải chăng vì quá đam mê với những ý nghĩa “thâm sâu” của số 2 nên NGD đó không đếm xỉa tới “lời sám hối” của Frege? Hoặc do thiếu thông tin, ông không biết tới “lời sám hối” này?

Nhưng dù số 2 của NGD này “bí hiểm” đến thế nào đi chăng nữa, tôi có thể quả quyết rằng ý đồ áp đặt tư tưởng số học siêu hình lên đầu trẻ em là một việc hết sức phản giáo dục và phản sư phạm! Điều này đã được chứng minh hùng hồn trong thực tiễn giáo dục ở Pháp, như độc giả sẽ thấy rõ ở mục sau. Bây giờ xin tiếp tục chú ý tới quan điểm của NGD của chúng ta.

Ông nói: “… có những khái niệm toán học không thể tìm thấy cái thực tế nào để minh hoạ. Cũng như không có một điểm tựa trực giác nào cả”. Rồi ông đưa ra thí dụ như căn bậc hai của 2 ( ), với kết luận hùng hồn: “Vậy là số vô tỷ căn bậc hai của 2 không tồn tại trong thực tế”.

Khoan hãy nói về trực giác, xin nói ngay rằng đây là một nhận thức HOÀN TOÀN SAI về bản chất của số vô tỷ, tức là SAI VỀ TOÁN HỌC.